Liczby całkowite – zadania i sprawdzian, matematyka klasa 6

Liczby całkowite: Podaj liczbę przeciwną do −12. Zacznij od szybkiego quizu, a potem przećwicz metody w 20 zadaniach z rozwiązaniami.

Najważniejsze w 30 sekund

• Liczby całkowite to liczby naturalne (0, 1, 2...) oraz liczby do nich przeciwne (−1, −2, −3...).
• Wartość bezwzględna |a| to odległość liczby od zera na osi; zawsze jest nieujemna.
• Dodając liczby o tych samych znakach, dodajemy ich wartości i zachowujemy znak.

Najważniejsze w 5 minut

• Liczby całkowite to liczby naturalne (0, 1, 2...) oraz liczby do nich przeciwne (−1, −2, −3...).
• Wartość bezwzględna |a| to odległość liczby od zera na osi; zawsze jest nieujemna.
• Dodając liczby o tych samych znakach, dodajemy ich wartości i zachowujemy znak.
• Przy różnych znakach odejmujemy mniejszą wartość od większej i stawiamy znak liczby o większej wartości.
• Odejmowanie liczby b to dodawanie liczby do niej przeciwnej: a − b = a + (−b).
• Iloczyn lub iloraz dwóch liczb o tym samym znaku jest dodatni, o różnych – ujemny.

Lekcje w tym dziale

1. Liczby dodatnie i ujemne
2. Dodawanie liczb całkowitych
3. Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych
4. Odejmowanie liczb całkowitych
5. Własności działań na liczbach całkowitych

Krótka teoria

• Liczby przeciwne leżą na osi w tej samej odległości od zera, ale po przeciwnych stronach (np. 5 i −5).
• Suma dwóch liczb przeciwnych jest zawsze równa 0.
• Wartość bezwzględna liczby dodatniej to ta sama liczba, a ujemnej – liczba do niej przeciwna (np. |−7| = 7).
• Dodawanie: (−5) + (−3) = −8; (−10) + 4 = −6.
• Odejmowanie: 4 − 9 = 4 + (−9) = −5; 3 − (−2) = 3 + 2 = 5.
• Mnożenie: dodatnia · dodatnia = dodatnia; ujemna · ujemna = dodatnia; dodatnia · ujemna = ujemna.
• Dzielenie rządzi się tymi samymi zasadami znaków co mnożenie (np. (−12) : (−3) = 4).
• Kolejność działań pozostaje taka sama: najpierw nawiasy, potem potęgowanie, mnożenie/dzielenie, na końcu dodawanie/odejmowanie.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Oblicz: −15 + (−7) − (−10)

1. Najpierw dodajemy liczby ujemne: −15 + (−7) = −22.
2. Zamieniamy odejmowanie liczby ujemnej na dodawanie dodatniej: −22 − (−10) = −22 + 10.
3. Obliczamy końcowy wynik: −22 + 10 = −12.

Wynik: −12

Oblicz: (−4) · 5 + (−18) : (−3)

1. Wykonujemy mnożenie: (−4) · 5 = −20.
2. Wykonujemy dzielenie: (−18) : (−3) = 6 (znaki są takie same, więc wynik dodatni).
3. Dodajemy wyniki: −20 + 6 = −14.

Wynik: −14

Temperatura rano wynosiła −8°C, a w południe wzrosła o 12°C. Jaka była temperatura w południe?

1. Zapisujemy działanie: −8 + 12.
2. Odejmujemy wartości bezwzględne: 12 − 8 = 4.
3. Znak bierzemy od liczby 12, bo |12| > |−8|.
4. Wynik to 4°C.

Wynik: 4°C

Zadania proste (10)

1. Podaj liczbę przeciwną do −12.
2. Ile wynosi wartość bezwzględna z −25?
3. Oblicz: −7 + 10
4. Oblicz: −5 + (−8)
5. Oblicz: 4 − 9
6. Oblicz: −2 − (−6)
7. Oblicz: (−3) · 8
8. Oblicz: (−20) : (−4)
9. Oblicz: 0 − 15
10. Jaka liczba jest o 5 mniejsza od −2?

Zadania trudniejsze (10)

11. Oblicz: (−3) · (−2) · (−5)
12. Oblicz: (15 − 20) · (−4)
13. Oblicz: −48 : 6 + (−10)
14. Na koncie było −200 zł. Wpłacono 500 zł, a potem wybrano 450 zł. Jaki jest stan konta?
15. Oblicz: −100 : (−25) − 10
16. Znajdź liczbę x, jeśli x + 15 = −5.
17. Oblicz: |−8 + 3| · (−2)
18. Różnica dwóch liczb wynosi −12. Odjemna to 5. Ile wynosi odjemnik?
19. Oblicz: (−2)³ + (−3)²
20. W poniedziałek temperatura wynosiła −5°C. We wtorek spadła o 4°C, a w środę wzrosła o 6°C. Jaka była temperatura w środę?

Odpowiedzi i rozwiązania

1. 12 – Liczba przeciwna ma zmieniony znak.
2. 25 – |−25| = 25.
3. 3 – 10 − 7 = 3.
4. −13 – Sumujemy wartości (5+8=13) i stawiamy minus.
5. −5 – 4 − 9 = 4 + (−9) = −5.
6. 4 – −2 + 6 = 4.
7. −24 – Iloczyn liczb o różnych znakach jest ujemny.
8. 5 – Iloraz liczb o tych samych znakach jest dodatni.
9. −15 – Odjęcie liczby od zera daje liczbę przeciwną.
10. −7 – −2 − 5 = −7.
11. −30 – 6 · (−5) = −30. Nieparzysta liczba minusów daje wynik ujemny.
12. 20 – (−5) · (−4) = 20.
13. −18 – −8 + (−10) = −18.
14. −150 zł – −200 + 500 − 450 = 300 − 450 = −150.
15. −6 – 4 − 10 = −6.
16. −20 – x = −5 − 15 = −20.
17. −10 – |−5| · (−2) = 5 · (−2) = −10.
18. 17 – 5 − x = −12 => x = 5 − (−12) = 17.
19. 1 – −8 + 9 = 1.
20. −3°C – −5 − 4 + 6 = −9 + 6 = −3.

Typowe błędy

1. Mylenie wartości bezwzględnej z liczbą przeciwną (np. pisanie, że |−5| = −5).
2. Błędne znaki przy odejmowaniu (zapominanie, że −(−) to +).
3. Sugerowanie się zasadą 'minus i minus daje plus' przy dodawaniu (np. −3 + (−5) = 8 – to błąd!).
4. Złe ustalanie znaku wyniku przy dzieleniu (zasada jest taka sama jak w mnożeniu).
5. Nieuwzględnianie kolejności działań w wyrażeniach z wieloma znakami.
6. Błąd w obliczeniach na osi liczbowej (przesuwanie się w złym kierunku przy liczbach ujemnych).

Najczęstsze pytania – metody rozwiązywania

Oblicz: −15 + (−7) − (−10)

Najpierw dodajemy liczby ujemne: −15 + (−7) = −22. Zamieniamy odejmowanie liczby ujemnej na dodawanie dodatniej: −22 − (−10) = −22 + 10. Obliczamy końcowy wynik: −22 + 10 = −12. Wynik: −12

Oblicz: (−4) · 5 + (−18) : (−3)

Wykonujemy mnożenie: (−4) · 5 = −20. Wykonujemy dzielenie: (−18) : (−3) = 6 (znaki są takie same, więc wynik dodatni). Dodajemy wyniki: −20 + 6 = −14. Wynik: −14

Temperatura rano wynosiła −8°C, a w południe wzrosła o 12°C. Jaka była temperatura w południe?

Zapisujemy działanie: −8 + 12. Odejmujemy wartości bezwzględne: 12 − 8 = 4. Znak bierzemy od liczby 12, bo |12| > |−8|. Wynik to 4°C. Wynik: 4°C

FAQ – Liczby całkowite

Czy zero jest liczbą dodatnią czy ujemną?

Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne.

Jak najłatwiej zrozumieć dodawanie liczb ujemnych?

Wyobraź sobie długi i wpłaty na konto: −10 zł długu i −5 zł długu to razem −15 zł długu.

Co się dzieje, gdy odejmujemy liczbę ujemną?

Odejmowanie długu to tak naprawdę zysk, więc zmieniamy znak na plus: 5 − (−3) = 5 + 3.

Jaki jest wynik mnożenia trzech liczb ujemnych?

Wynik będzie ujemny, ponieważ (−) · (−) = (+), a (+) · (−) = (−).

Czy wartość bezwzględna może być ujemna?

Nie, wartość bezwzględna to odległość, a odległość nie może być mniejsza od zera.

Jak sprawdzić wynik odejmowania liczb całkowitych?

Najlepiej dodać wynik do odjemnika – powinniśmy otrzymać odjemną.

Czy kolejność składników przy dodawaniu liczb ujemnych ma znaczenie?

Nie, dodawanie liczb całkowitych jest przemienne, np. −3 + 5 = 5 + (−3).

Jakie zadania tekstowe najczęściej pojawiają się w tym dziale?

Najczęściej są to zadania o temperaturze, wysokościach nad i pod poziomem morza oraz o pieniądzach na koncie.

Jak przygotować się do sprawdzianu?

1. Zapisz własnymi słowami regułę: Liczby całkowite to liczby naturalne (0, 1, 2...) oraz liczby do nich przeciwne (−1, −2, −3...).
2. Przeanalizuj przykład „Oblicz: −15 + (−7) − (−10)” i wyjaśnij każdy krok.
3. Bez podglądania oblicz: Podaj liczbę przeciwną do −12. Dopiero potem porównaj tok obliczeń z rozwiązaniem.
4. Przejdź do trudniejszego zadania: Oblicz: (−3) · (−2) · (−5) Zapisuj przekształcenia, nie tylko wynik.
5. Sprawdź, czy nie popełniasz błędu: Mylenie wartości bezwzględnej z liczbą przeciwną (np. pisanie, że |−5| = −5). Wróć jutro do zadań, które sprawiły trudność.

Wygeneruj własny test z notatek, PDF lub zdjęć · Zrób fiszki z materiału

Powiązane tematy

• Działania na liczbach – część 1 – zadania, matematyka kl. 6
• Matematyka klasa 6 – testy, sprawdziany i powtórki

Zakres działu odpowiada spisowi treści serii „Matematyka z kluczem” (klasa 6) – tylko jako odniesienie do programu. Teoria, przykłady i zadania są autorskie, wyniki sprawdzone obliczeniowo. SpytajMnie nie jest powiązane z żadnym wydawcą.