Wielokąty – zadania i sprawdzian, matematyka klasa 8

Wielokąty: Jak nazywamy trójkąt, który ma wszystkie boki równe? Zacznij od szybkiego quizu, a potem przećwicz metody w 20 zadaniach z rozwiązaniami.

Najważniejsze w 30 sekund

• Figury przystające mają ten sam kształt i wielkość – po nałożeniu pokrywają się.
• Cechy przystawania trójkątów to: bbb (bok-bok-bok), bkb (bok-kąt-bok), kbk (kąt-bok-kąt).
• W wielokącie foremnym wszystkie boki mają taką samą długość, a wszystkie kąty taką samą miarę.

Najważniejsze w 5 minut

• Figury przystające mają ten sam kształt i wielkość – po nałożeniu pokrywają się.
• Cechy przystawania trójkątów to: bbb (bok-bok-bok), bkb (bok-kąt-bok), kbk (kąt-bok-kąt).
• W wielokącie foremnym wszystkie boki mają taką samą długość, a wszystkie kąty taką samą miarę.
• Suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym n-kącie wynosi (n − 2) · 180°.
• Kąt wewnętrzny n-kąta foremnego obliczamy ze wzoru: ((n − 2) · 180°) : n.

Lekcje w tym dziale

1. Figury przystające
2. Cechy przystawania trójkątów
3. Przystawanie trójkątów w dowodach twierdzeń
4. Wielokąty foremne

Krótka teoria

• Dwie figury są przystające, jeśli istnieje przesunięcie, obrót lub odbicie, które nakłada jedną na drugą.
• Cecha bbb: Jeśli boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta, to są one przystające.
• Cecha bkb: Jeśli dwa boki i kąt między nimi są równe w obu trójkątach, to trójkąty są przystające.
• Cecha kbk: Jeśli bok i dwa kąty przy nim leżące są równe w obu trójkątach, to trójkąty są przystające.
• Suma kątów w trójkącie to 180°, w czworokącie 360°, w sześciokącie 720°.
• Wielokąt foremny o boku a ma obwód równy n · a, gdzie n to liczba boków.
• Każdy wielokąt foremny można wpisać w okrąg i opisać na nim okrąg.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych ośmiokąta.

1. Wzór na sumę kątów to (n − 2) · 180°.
2. Dla ośmiokąta n = 8.
3. Obliczam: (8 − 2) · 180° = 6 · 180° = 1080°.

Wynik: 1080°

Ile wynosi miara jednego kąta wewnętrznego w sześciokącie foremnym?

1. Suma kątów w sześciokącie (n=6): (6 − 2) · 180° = 4 · 180° = 720°.
2. Dzielę sumę przez liczbę kątów: 720° : 6 = 120°.

Wynik: 120°

Czy trójkąty o bokach 3 cm, 4 cm, 5 cm oraz 4 cm, 5 cm, 3 cm są przystające?

1. Sprawdzam długości boków obu trójkątów.
2. Oba mają boki długości 3, 4 i 5.
3. Na mocy cechy bbb trójkąty są przystające.

Wynik: Tak

Zadania proste (10)

1. Jak nazywamy trójkąt, który ma wszystkie boki równe?
2. Ile wynosi suma kątów w pięciokącie?
3. Ile wynosi miara kąta wewnętrznego kwadratu?
4. Czy każde dwa kwadraty o boku 5 cm są przystające?
5. Podaj nazwę cechy przystawania, gdy znamy 3 boki trójkąta.
6. Ile boków ma dziesięciokąt foremny?
7. Czy trójkąty o kątach 30°, 60°, 90° muszą być przystające?
8. Ile wynosi suma kątów zewnętrznych w dowolnym wielokącie wypukłym?
9. Jaki jest obwód sześciokąta foremnego o boku 4 cm?
10. Czy trójkąt o bokach 2, 2, 3 jest przystający do trójkąta o bokach 3, 2, 2?

Zadania trudniejsze (10)

11. Oblicz miarę kąta wewnętrznego w dwunastokącie foremnym.
12. W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma 40°. Ile mają pozostałe kąty?
13. Dwa trójkąty mają boki długości 5 cm i 7 cm oraz kąt 40°. Czy muszą być przystające?
14. Ile przekątnych ma siedmiokąt?
15. Suma kątów w pewnym wielokącie wynosi 1440°. Ile on ma boków?
16. W sześciokącie foremnym o boku 6 cm, jaka jest długość dłuższej przekątnej?
17. Trójkąt ABC jest przystający do trójkąta PQR. AB=5, BC=6, kąt B=50°. Ile wynosi QR?
18. Czy z odcinków 3, 4, 8 można zbudować trójkąt?
19. Ile wynosi kąt środkowy oparty na boku ośmiokąta foremnego?
20. W pięciokącie foremnym ABCDE, ile wynosi miara kąta CAD?

Odpowiedzi i rozwiązania

1. Trójkąt równoboczny – Jest to wielokąt foremny o trzech bokach.
2. 540° – (5 − 2) · 180° = 3 · 180° = 540°.
3. 90° – Kwadrat to czworokąt foremny: 360° : 4 = 90°.
4. Tak – Mają ten sam kształt i wymiary, więc są przystające.
5. bbb – Cecha bok-bok-bok.
6. 10 – Nazwa wskazuje na liczbę boków.
7. Nie – Mogą mieć różne długości boków (być podobne, ale nie przystające).
8. 360° – Suma kątów zewnętrznych (po jednym przy wierzchołku) zawsze wynosi 360°.
9. 24 cm – 6 · 4 cm = 24 cm.
10. Tak – Z cechy bbb – mają identyczne zestawy długości boków.
11. 150° – ((12 − 2) · 180°) : 12 = (10 · 180°) : 12 = 1800° : 12 = 150°.
12. 70°, 70° – (180° − 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°.
13. Nie – Musielibyśmy wiedzieć, że kąt 40° leży między tymi bokami (cecha bkb).
14. 14 – Wzór: n · (n − 3) : 2. Dla n = 7: 7 · 4 : 2 = 14.
15. 10 – (n − 2) · 180 = 1440 -> n − 2 = 8 -> n = 10.
16. 12 cm – Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego jest równa 2a, czyli 2 · 6 = 12.
17. 6 – Boki odpowiadające muszą być równe, więc BC = QR = 6.
18. Nie – Nie spełniona nierówność trójkąta: 3 + 4 < 8.
19. 45° – 360° : 8 = 45°.
20. 36° – Kąt wewnętrzny to 108°. Trójkąty ABC i AED są równoramienne (108, 36, 36). Kąt CAD = 108 − 36 − 36 = 36°.

Typowe błędy

1. Mylenie cechy bkb z sytuacją, gdy kąt nie leży między danymi bokami.
2. Błędne założenie, że trójkąty o tych samych kątach (kkk) są przystające – one są tylko podobne.
3. Zapominanie o odjęciu 2 we wzorze na sumę kątów: (n − 2) · 180°.
4. Mylenie pojęcia figury przystającej z figurą o tym samym polu powierzchni.
5. Błędne obliczanie liczby przekątnych przez zapominanie o dzieleniu przez 2.
6. Utożsamianie każdego wielokąta, który ma równe boki, z wielokątem foremnym (np. romb nie musi być foremny).

Najczęstsze pytania – metody rozwiązywania

Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych ośmiokąta.

Wzór na sumę kątów to (n − 2) · 180°. Dla ośmiokąta n = 8. Obliczam: (8 − 2) · 180° = 6 · 180° = 1080°. Wynik: 1080°

Ile wynosi miara jednego kąta wewnętrznego w sześciokącie foremnym?

Suma kątów w sześciokącie (n=6): (6 − 2) · 180° = 4 · 180° = 720°. Dzielę sumę przez liczbę kątów: 720° : 6 = 120°. Wynik: 120°

Czy trójkąty o bokach 3 cm, 4 cm, 5 cm oraz 4 cm, 5 cm, 3 cm są przystające?

Sprawdzam długości boków obu trójkątów. Oba mają boki długości 3, 4 i 5. Na mocy cechy bbb trójkąty są przystające. Wynik: Tak

FAQ – Wielokąty

Co to znaczy, że figury są przystające?

Oznacza to, że mają identyczny kształt i wymiary, różnią się tylko położeniem na płaszczyźnie.

Jakie są cechy przystawania trójkątów?

Są trzy główne cechy: bbb (trzy boki), bkb (dwa boki i kąt między nimi), kbk (bok i dwa kąty przy nim).

Czym jest wielokąt foremny?

To wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne równej miary.

Jaki jest najprostszy wielokąt foremny?

Jest to trójkąt równoboczny.

Czy każdy prostokąt jest wielokątem foremnym?

Nie, tylko kwadrat jest prostokątem foremnym, bo musi mieć też równe boki.

Jak obliczyć sumę kątów w dowolnym wielokącie?

Należy skorzystać ze wzoru: (n − 2) · 180°, gdzie n to liczba boków.

Ile stopni ma kąt zewnętrzny w trójkącie równobocznym?

120°, ponieważ kąt wewnętrzny ma 60°, a suma kątów przyległych to 180°.

Czy na sprawdzianie będą dowody?

Tak, często pojawiają się zadania typu 'wykaż, że trójkąty są przystające' przy użyciu odpowiednich cech.

Jak przygotować się do sprawdzianu?

1. Zapisz własnymi słowami regułę: Figury przystające mają ten sam kształt i wielkość – po nałożeniu pokrywają się.
2. Przeanalizuj przykład „Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych ośmiokąta.” i wyjaśnij każdy krok.
3. Bez podglądania oblicz: Jak nazywamy trójkąt, który ma wszystkie boki równe? Dopiero potem porównaj tok obliczeń z rozwiązaniem.
4. Przejdź do trudniejszego zadania: Oblicz miarę kąta wewnętrznego w dwunastokącie foremnym. Zapisuj przekształcenia, nie tylko wynik.
5. Sprawdź, czy nie popełniasz błędu: Mylenie cechy bkb z sytuacją, gdy kąt nie leży między danymi bokami. Wróć jutro do zadań, które sprawiły trudność.

Wygeneruj własny test z notatek, PDF lub zdjęć · Zrób fiszki z materiału

Powiązane tematy

• Figury na płaszczyźnie – zadania, matematyka kl. 8
• Geometria przestrzenna – zadania, matematyka kl. 8
• Matematyka klasa 8 – testy, sprawdziany i powtórki

Zakres działu odpowiada spisowi treści serii „Matematyka z kluczem” (klasa 8) – tylko jako odniesienie do programu. Teoria, przykłady i zadania są autorskie, wyniki sprawdzone obliczeniowo. SpytajMnie nie jest powiązane z żadnym wydawcą.