Potęgi – zadania i sprawdzian, matematyka klasa 7

Potęgi: Ile to jest 5³? Zacznij od szybkiego quizu, a potem przećwicz metody w 20 zadaniach z rozwiązaniami.

Najważniejsze w 30 sekund

• Potęgowanie to wielokrotne mnożenie tej samej liczby przez siebie.
• a⁰ = 1 dla a ≠ 0; a¹ = a.
• Przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach wykładniki dodajemy.

Najważniejsze w 5 minut

• Potęgowanie to wielokrotne mnożenie tej samej liczby przez siebie.
• a⁰ = 1 dla a ≠ 0; a¹ = a.
• Przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach wykładniki dodajemy.
• Przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach wykładniki odejmujemy.
• Potęgowanie potęgi: wykładniki mnożymy.
• Notacja wykładnicza to zapis liczby jako a · 10ⁿ, gdzie 1 ≤ a < 10.

Lekcje w tym dziale

1. Potęga o wykładniku naturalnym
2. Potęgi o tych samych podstawach
3. Własności potęgowania
4. Notacja wykładnicza
5. Obliczenia w notacji wykładniczej

Krótka teoria

• Definicja: aⁿ = a · a · ... · a (n czynników).
• Mnożenie: aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ.
• Dzielenie: aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ (dla a ≠ 0).
• Potęga potęgi: (aⁿ)ᵐ = aⁿ˙ᵐ.
• Potęga iloczynu: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• Potęga ilorazu: (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ.
• Notacja wykładnicza: liczba zapisana jako iloczyn liczby z przedziału [1, 10) i potęgi liczby 10.
• Liczby ujemne do potęgi parzystej dają wynik dodatni, do nieparzystej – ujemny.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Oblicz wartość wyrażenia: 2³ · 2².

1. Korzystamy z zasady mnożenia potęg o tych samych podstawach.
2. Dodajemy wykładniki: 3 + 2 = 5.
3. Obliczamy 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.

Wynik: 32

Zapisz w notacji wykładniczej liczbę 450 000.

1. Przesuwamy przecinek tak, by otrzymać liczbę z zakresu 1 do 10: 4,5.
2. Policzyliśmy 5 miejsc przesunięcia w lewo.
3. Zapisujemy jako 4,5 · 10⁵.

Wynik: 4,5 · 10⁵

Oblicz (3²)³ : 3⁴.

1. Potęgujemy potęgę: (3²)³ = 3²˙³ = 3⁶.
2. Dzielimy potęgi: 3⁶ : 3⁴ = 3⁶⁻⁴ = 3².
3. Wynik to 3² = 9.

Wynik: 9

Zadania proste (10)

1. Ile to jest 5³?
2. Oblicz (−2)⁴.
3. Ile to jest (−3)³?
4. Zapisz w postaci jednej potęgi: 7⁸ : 7⁵.
5. Zapisz w postaci jednej potęgi: 4² · 4⁵.
6. Ile to jest (2³)⁴?
7. Oblicz wartość 10⁵.
8. Ile to jest (1/2)²?
9. Zapisz 0,001 jako potęgę liczby 10.
10. Ile to jest 123⁰?

Zadania trudniejsze (10)

11. Oblicz: (2⁶ · 5⁶) / 10⁴.
12. Przedstaw w notacji wykładniczej: 0,00007.
13. Oblicz połowę liczby 2¹⁰.
14. Ile to jest (0,2)³?
15. Oblicz wartość: 3⁴ + 3⁴ + 3⁴.
16. Uporządkuj rosnąco: 2³⁰, 4¹⁴, 8⁹.
17. Oblicz: (5⁷ · 5²) : 5⁶.
18. Zapisz liczbę 16 · 2⁵ w postaci potęgi o podstawie 2.
19. Wykonaj działanie: (3,2 · 10³) · (2 · 10²). Wynik podaj w notacji wykładniczej.
20. Ile razy liczba 10¹⁰ jest większa od liczby 10⁷?

Odpowiedzi i rozwiązania

1. 125 – 5 · 5 · 5 = 25 · 5 = 125.
2. 16 – Wykładnik parzysty, więc wynik dodatni: 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
3. −27 – Wykładnik nieparzysty, więc wynik ujemny: −(3 · 3 · 3) = −27.
4. 7³ – Odejmujemy wykładniki: 8 − 5 = 3.
5. 4⁷ – Dodajemy wykładniki: 2 + 5 = 7.
6. 2¹² – Mnożymy wykładniki: 3 · 4 = 12.
7. 100 000 – Jedynka i 5 zer.
8. 1/4 – (1/2) · (1/2) = 1/4.
9. 10⁻³ – Trzy miejsca po przecinku to 10⁻³.
10. 1 – Dowolna liczba (różna od zera) do potęgi 0 daje 1.
11. 100 – 2⁶ · 5⁶ = (2 · 5)⁶ = 10⁶. 10⁶ : 10⁴ = 10² = 100.
12. 7 · 10⁻⁵ – Przesuwamy przecinek o 5 miejsc w prawo.
13. 2⁹ – 2¹⁰ : 2 = 2¹⁰ : 2¹ = 2⁹.
14. 0,008 – 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,04 · 0,2 = 0,008.
15. 3⁵ – 3 · 3⁴ = 3¹ · 3⁴ = 3⁵ (czyli 243).
16. 8⁹, 4¹⁴, 2³⁰ – 8⁹ = (2³)⁹ = 2²⁷; 4¹⁴ = (2²)¹⁴ = 2²⁸. Zatem 2²⁷ < 2²⁸ < 2³⁰.
17. 125 – 5⁹ : 5⁶ = 5³ = 125.
18. 2⁹ – 16 = 2⁴, więc 2⁴ · 2⁵ = 2⁹.
19. 6,4 · 10⁵ – (3,2 · 2) · (10³ · 10²) = 6,4 · 10⁵.
20. 1000 – 10¹⁰ : 10⁷ = 10³ = 1000.

Typowe błędy

1. Mnożenie podstaw zamiast dodawania wykładników (np. 2² · 2³ = 4⁵ zamiast 2⁵).
2. Błędne obliczanie potęg liczb ujemnych – zapominanie o nawiasach: −3² = −9, ale (−3)² = 9.
3. Dodawanie wykładników przy dodawaniu potęg (np. 2³ + 2² ≠ 2⁵).
4. Mylenie 2³ z 2 · 3 (wynik 8 vs 6).
5. Błędy w notacji wykładniczej – liczba przed 10 nie mieści się w zakresie [1, 10).
6. Przyjmowanie, że a⁰ = 0 zamiast 1.

Najczęstsze pytania – metody rozwiązywania

Oblicz wartość wyrażenia: 2³ · 2².

Korzystamy z zasady mnożenia potęg o tych samych podstawach. Dodajemy wykładniki: 3 + 2 = 5. Obliczamy 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Wynik: 32

Zapisz w notacji wykładniczej liczbę 450 000.

Przesuwamy przecinek tak, by otrzymać liczbę z zakresu 1 do 10: 4,5. Policzyliśmy 5 miejsc przesunięcia w lewo. Zapisujemy jako 4,5 · 10⁵. Wynik: 4,5 · 10⁵

Oblicz (3²)³ : 3⁴.

Potęgujemy potęgę: (3²)³ = 3²˙³ = 3⁶. Dzielimy potęgi: 3⁶ : 3⁴ = 3⁶⁻⁴ = 3². Wynik to 3² = 9. Wynik: 9

FAQ – Potęgi

Co to jest podstawa potęgi?

To liczba, którą mnożymy przez siebie. W zapisie aⁿ podstawą jest 'a'.

Co to jest wykładnik potęgi?

To liczba mówiąca, ile razy mnożymy podstawę przez siebie. W zapisie aⁿ wykładnikiem jest 'n'.

Czy każda liczba do potęgi 0 to 1?

Tak, każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi 0 daje 1. 0⁰ jest symbolem nieoznaczonym.

Jak mnożyć potęgi o różnych podstawach, ale tych samych wykładnikach?

Mnożymy podstawy, a wykładnik zostawiamy bez zmian: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ.

Do czego służy notacja wykładnicza?

Do czytelnego zapisywania bardzo dużych lub bardzo małych liczb.

Jak podnieść ułamek do potęgi?

Podnosimy do tej potęgi zarówno licznik, jak i mianownik.

Kiedy wynik potęgowania liczby ujemnej jest dodatni?

Gdy wykładnik jest liczbą parzystą (2, 4, 6...)

Czy potęgowanie wykonujemy przed mnożeniem?

Tak, w kolejności wykonywania działań potęgowanie jest przed mnożeniem i dzieleniem.

Jak przygotować się do sprawdzianu?

1. Zapisz własnymi słowami regułę: Potęgowanie to wielokrotne mnożenie tej samej liczby przez siebie.
2. Przeanalizuj przykład „Oblicz wartość wyrażenia: 2³ · 2².” i wyjaśnij każdy krok.
3. Bez podglądania oblicz: Ile to jest 5³? Dopiero potem porównaj tok obliczeń z rozwiązaniem.
4. Przejdź do trudniejszego zadania: Oblicz: (2⁶ · 5⁶) / 10⁴. Zapisuj przekształcenia, nie tylko wynik.
5. Sprawdź, czy nie popełniasz błędu: Mnożenie podstaw zamiast dodawania wykładników (np. 2² · 2³ = 4⁵ zamiast 2⁵). Wróć jutro do zadań, które sprawiły trudność.

Wygeneruj własny test z notatek, PDF lub zdjęć · Zrób fiszki z materiału

Powiązane tematy

• Proporcjonalność i procenty – zadania, matematyka kl. 7
• Pierwiastki – zadania, matematyka kl. 7
• Matematyka klasa 7 – testy, sprawdziany i powtórki

Zakres działu odpowiada spisowi treści serii „Matematyka z kluczem” (klasa 7) – tylko jako odniesienie do programu. Teoria, przykłady i zadania są autorskie, wyniki sprawdzone obliczeniowo. SpytajMnie nie jest powiązane z żadnym wydawcą.