Pierwiastki – zadania i sprawdzian, matematyka klasa 7

Pierwiastki: Ile wynosi √81? Zacznij od szybkiego quizu, a potem przećwicz metody w 20 zadaniach z rozwiązaniami.

Najważniejsze w 30 sekund

• Pierwiastek kwadratowy z liczby a ≥ 0 to taka liczba b ≥ 0, że b² = a.
• Pierwiastek sześcienny z liczby a to taka liczba b, że b³ = a.
• √a · √b = √(a · b) oraz √a : √b = √(a : b).

Najważniejsze w 5 minut

• Pierwiastek kwadratowy z liczby a ≥ 0 to taka liczba b ≥ 0, że b² = a.
• Pierwiastek sześcienny z liczby a to taka liczba b, że b³ = a.
• √a · √b = √(a · b) oraz √a : √b = √(a : b).
• Nie można wyciągać pierwiastka kwadratowego z liczb ujemnych (w zbiorze liczb rzeczywistych).
• Pierwiastek z sześcianu liczby ujemnej jest liczbą ujemną.
• Szacowanie pierwiastka polega na znalezieniu najbliższych mu liczb całkowitych.

Lekcje w tym dziale

1. Pierwiastek kwadratowy
2. Szacowanie pierwiastków
3. Własności pierwiastkowania
4. Pierwiastek trzeciego stopnia
5. Działania na pierwiastkach sześciennych
6. Działania na potęgach i pierwiastkach

Krótka teoria

• Definicja: √a = b ⇔ b² = a (dla a, b ≥ 0).
• Definicja: ∛a = b ⇔ b³ = a.
• Pierwiastek iloczynu: √(a · b) = √a · √b.
• Pierwiastek ilorazu: √(a/b) = √a / √b (dla b > 0).
• Dla a ≥ 0: (√a)² = a oraz √a² = a.
• Dla dowolnego a: ∛a³ = a.
• Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka: √(a² · b) = a√b.
• Włączanie czynnika pod znak pierwiastka: a√b = √(a² · b).

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Oblicz √144 + ∛27.

1. Wyznaczamy pierwiastek kwadratowy: √144 = 12 (bo 12² = 144).
2. Wyznaczamy pierwiastek sześcienny: ∛27 = 3 (bo 3³ = 27).
3. Dodajemy wyniki: 12 + 3 = 15.

Wynik: 15

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka: √50.

1. Rozkładamy liczbę 50 na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby naturalnej: 50 = 25 · 2.
2. Stosujemy wzór na pierwiastek iloczynu: √50 = √25 · √2.
3. Obliczamy √25 = 5. Wynik to 5√2.

Wynik: 5√2

Oszacuj, między jakimi liczbami całkowitymi leży √30.

1. Szukamy najbliższych liczb kwadratowych: 25 < 30 < 36.
2. Wyciągamy pierwiastki: √25 < √30 < √36.
3. Zatem 5 < √30 < 6.

Wynik: Między 5 a 6

Zadania proste (10)

1. Ile wynosi √81?
2. Ile wynosi ∛64?
3. Oblicz √0,25.
4. Ile to jest ∛−8?
5. Oblicz √16 · √9.
6. Oblicz √(100 : 4).
7. Ile wynosi (√7)²?
8. Oblicz ∛1000.
9. Włącz czynnik pod znak pierwiastka: 2√3.
10. Oblicz √49 − √25.

Zadania trudniejsze (10)

11. Oblicz √18 + √50.
12. Oblicz √(3² + 4²).
13. Oblicz ∛(1/8) + ∛(27/64).
14. Uporządkuj liczby od najmniejszej: 3√2, 2√3, √15.
15. Oblicz ∛2 · ∛4.
16. Usuń niewymierność z mianownika: 2/√2.
17. Oblicz √2 · √8 + ∛81 : ∛3.
18. Czy liczba √20 jest większa od 4,5?
19. Oblicz ∛(−125) · √0,04.
20. Oblicz: √72 : √2.

Odpowiedzi i rozwiązania

1. 9 – Bo 9 · 9 = 81.
2. 4 – Bo 4 · 4 · 4 = 16 · 4 = 64.
3. 0,5 – Bo 0,5 · 0,5 = 0,25.
4. −2 – Bo (−2) · (−2) · (−2) = −8.
5. 12 – 4 · 3 = 12.
6. 5 – √25 = 5 (lub √100 : √4 = 10 : 2 = 5).
7. 7 – Kwadrat pierwiastka stopnia drugiego z liczby nieujemnej to ta liczba.
8. 10 – 10 · 10 · 10 = 1000.
9. √12 – 2√3 = √(2² · 3) = √(4 · 3) = √12.
10. 2 – 7 − 5 = 2.
11. 8√2 – √18 = 3√2, √50 = 5√2. Razem 3√2 + 5√2 = 8√2.
12. 5 – √(9 + 16) = √25 = 5.
13. 5/4 – 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4 (lub 1 1/4).
14. 2√3, √15, 3√2 – 3√2 = √18, 2√3 = √12. √12 < √15 < √18.
15. 2 – ∛(2 · 4) = ∛8 = 2.
16. √2 – (2 · √2) / (√2 · √2) = 2√2 / 2 = √2.
17. 7 – √16 + ∛27 = 4 + 3 = 7.
18. Nie – 4,5² = 20,25. Skoro 20 < 20,25, to √20 < 4,5.
19. −1 – −5 · 0,2 = −1.
20. 6 – √(72:2) = √36 = 6.

Typowe błędy

1. Obliczanie pierwiastka z sumy jako sumy pierwiastków (np. √(9+16) ≠ 3+4).
2. Próba wyciągnięcia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.
3. Mylenie pierwiastka stopnia drugiego z trzecim (np. ∛64 = 8 zamiast 4).
4. Błędne włączanie liczby pod pierwiastek (zapominanie o podniesieniu do kwadratu/sześcianu).
5. Przyjmowanie, że √a² to zawsze a (dla ujemnych a to |a|, choć w klasie 7 zwykle a ≥ 0).
6. Błędy w szacowaniu – mylenie kwadratów liczb (np. sądzenie, że √20 leży między 2 a 3).

Najczęstsze pytania – metody rozwiązywania

Oblicz √144 + ∛27.

Wyznaczamy pierwiastek kwadratowy: √144 = 12 (bo 12² = 144). Wyznaczamy pierwiastek sześcienny: ∛27 = 3 (bo 3³ = 27). Dodajemy wyniki: 12 + 3 = 15. Wynik: 15

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka: √50.

Rozkładamy liczbę 50 na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby naturalnej: 50 = 25 · 2. Stosujemy wzór na pierwiastek iloczynu: √50 = √25 · √2. Obliczamy √25 = 5. Wynik to 5√2. Wynik: 5√2

Oszacuj, między jakimi liczbami całkowitymi leży √30.

Szukamy najbliższych liczb kwadratowych: 25 < 30 < 36. Wyciągamy pierwiastki: √25 < √30 < √36. Zatem 5 < √30 < 6. Wynik: Między 5 a 6

FAQ – Pierwiastki

Co to jest pierwiastek?

To operacja odwrotna do potęgowania.

Czy można pierwiastkować zero?

Tak, √0 = 0 oraz ∛0 = 0.

Jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka?

Znajdź największy dzielnik liczby pod pierwiastkiem, który jest kwadratem, wyciągnij z niego pierwiastek i zapisz przed znakiem.

Co to jest liczba niewymierna?

To liczba, której nie da się zapisać w postaci ułamka zwykłego, np. √2 czy √3.

Czy ∛(−27) istnieje?

Tak, pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych istnieją. ∛(−27) = −3.

Jak usunąć niewymierność z mianownika?

Należy pomnożyć licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek, który znajduje się w mianowniku.

Jak oszacować wartość pierwiastka?

Znajdź dwie najbliższe liczby, z których pierwiastek jest liczbą całkowitą.

Czy √4 to 2 czy −2?

Z definicji pierwiastek kwadratowy to liczba nieujemna, więc √4 = 2.

Jak przygotować się do sprawdzianu?

1. Zapisz własnymi słowami regułę: Pierwiastek kwadratowy z liczby a ≥ 0 to taka liczba b ≥ 0, że b² = a.
2. Przeanalizuj przykład „Oblicz √144 + ∛27.” i wyjaśnij każdy krok.
3. Bez podglądania oblicz: Ile wynosi √81? Dopiero potem porównaj tok obliczeń z rozwiązaniem.
4. Przejdź do trudniejszego zadania: Oblicz √18 + √50. Zapisuj przekształcenia, nie tylko wynik.
5. Sprawdź, czy nie popełniasz błędu: Obliczanie pierwiastka z sumy jako sumy pierwiastków (np. √(9+16) ≠ 3+4). Wróć jutro do zadań, które sprawiły trudność.

Wygeneruj własny test z notatek, PDF lub zdjęć · Zrób fiszki z materiału

Powiązane tematy

• Potęgi – zadania, matematyka kl. 7
• Wyrażenia algebraiczne – zadania, matematyka kl. 7
• Matematyka klasa 7 – testy, sprawdziany i powtórki

Zakres działu odpowiada spisowi treści serii „Matematyka z kluczem” (klasa 7) – tylko jako odniesienie do programu. Teoria, przykłady i zadania są autorskie, wyniki sprawdzone obliczeniowo. SpytajMnie nie jest powiązane z żadnym wydawcą.