Trójkąty prostokątne – zadania i sprawdzian, matematyka klasa 7

Trójkąty prostokątne: Oblicz c, jeśli a = 3, b = 4 w trójkącie prostokątnym. Zacznij od szybkiego quizu, a potem przećwicz metody w 20 zadaniach z rozwiązaniami.

Najważniejsze w 30 sekund

• W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej.
• Wzór Pitagorasa: a² + b² = c².
• Przekątna kwadratu o boku a ma długość d = a√2.

Najważniejsze w 5 minut

• W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej.
• Wzór Pitagorasa: a² + b² = c².
• Przekątna kwadratu o boku a ma długość d = a√2.
• Wysokość trójkąta równobocznego o boku a to h = (a√3)/2.
• Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° to połowa kwadratu.
• Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90° to połowa trójkąta równobocznego.

Lekcje w tym dziale

1. Twierdzenie Pitagorasa
2. Twierdzenie Pitagorasa – zadania
3. Kwadrat i jego połowa
4. Trójkąt równoboczny i jego połowa

Krótka teoria

• Przyprostokątne (a, b) tworzą kąt prosty, przeciwprostokątna (c) leży naprzeciw niego.
• Twierdzenie Pitagorasa: a² + b² = c² stosujemy tylko w trójkątach prostokątnych.
• Twierdzenie odwrotne: jeśli a² + b² = c², to trójkąt jest prostokątny.
• Trójki pitagorejskie to liczby naturalne spełniające wzór, np. (3, 4, 5), (5, 12, 13).
• Przekątna kwadratu: d = a√2. Wyprowadza się ją z a² + a² = d².
• Wysokość trójkąta równobocznego: h = (a√3)/2. Pole P = (a²√3)/4.
• W trójkącie 30−60−90 boki mają długości: a (naprzeciw 30°), a√3 (naprzeciw 60°), 2a (przeciwprostokątna).
• W trójkącie 45−45−90 boki mają długości: a, a, a√2.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm.

1. Zastosuj wzór: 6² + 8² = c².
2. Oblicz kwadraty: 36 + 64 = c².
3. Wyciągnij pierwiastek: c² = 100 → c = √100 = 10.

Wynik: 10 cm

Oblicz przekątną kwadratu o boku 5 cm.

1. Użyj wzoru d = a√2.
2. Podstaw a = 5.
3. Wynik to 5√2.

Wynik: 5√2 cm

Wysokość trójkąta równobocznego wynosi 3√3. Ile wynosi jego bok?

1. Wzór na wysokość: h = (a√3)/2.
2. Podstaw h: 3√3 = (a√3)/2.
3. Pomnóż przez 2: 6√3 = a√3.
4. Podziel przez √3: a = 6.

Wynik: 6

Zadania proste (10)

1. Oblicz c, jeśli a = 3, b = 4 w trójkącie prostokątnym.
2. Czy trójkąt o bokach 5, 5, 8 jest prostokątny?
3. Ile wynosi przekątna kwadratu o boku 7?
4. Oblicz bok kwadratu, którego przekątna ma 4√2.
5. Ile wynosi wysokość trójkąta równobocznego o boku 10?
6. Oblicz brakującą przyprostokątną, gdy b = 12, c = 13.
7. W trójkącie 45-45-90 przyprostokątna ma 3. Ile ma przeciwprostokątna?
8. W trójkącie 30-60-90 przeciwprostokątna ma 8. Ile ma krótsza przyprostokątna?
9. Oblicz pole kwadratu o przekątnej √2.
10. Podaj długość boku trójkąta równobocznego o wysokości √3.

Zadania trudniejsze (10)

11. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną w trójkącie o bokach 3, 4, 5.
12. Drabina o długości 5 m sięga okna na wysokości 4 m. W jakiej odległości od ściany stoi dół drabiny?
13. Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku 4 cm.
14. Przekątna prostokąta ma 10 cm, a jeden bok 6 cm. Oblicz pole tego prostokąta.
15. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego o podstawie 12 i ramieniu 10.
16. Oblicz obwód trójkąta 30-60-90, w którym krótsza przyprostokątna ma 5.
17. Przekątna rombu mają 6 i 8. Ile wynosi bok tego rombu?
18. Oblicz wysokość trapezu równoramiennego o podstawach 10 i 22 oraz ramieniu 10.
19. W kwadracie o boku 6 połączono środki sąsiednich boków. Oblicz długość powstałego odcinka.
20. Bok trójkąta równobocznego ma 12. Oblicz odległość od środka boku do wierzchołka, który nie leży na tym boku.

Odpowiedzi i rozwiązania

1. 5 – 3² + 4² = 9 + 16 = 25. √25 = 5.
2. Nie – 5² + 5² = 25 + 25 = 50. 8² = 64. 50 ≠ 64.
3. 7√2 – Wzór d = a√2, czyli 7√2.
4. 4 – a√2 = 4√2, więc a = 4.
5. 5√3 – h = (10√3)/2 = 5√3.
6. 5 – a² + 12² = 13² → a² + 144 = 169 → a² = 25 → a = 5.
7. 3√2 – W tym trójkącie c = a√2, czyli 3√2.
8. 4 – Krótsza przyprostokątna (naprzeciw 30°) to połowa przeciwprostokątnej: 8 : 2 = 4.
9. 1 – d = a√2 → √2 = a√2 → a = 1. Pole P = 1² = 1.
10. 2 – h = (a√3)/2 → √3 = (a√3)/2 → 1 = a/2 → a = 2.
11. 2,4 – Pole P = (3·4)/2 = 6. Z drugiej strony P = (5·h)/2. 6 = 2,5h → h = 2,4.
12. 3 m – x² + 4² = 5² → x² + 16 = 25 → x² = 9 → x = 3.
13. 4√3 cm² – P = (a²√3)/4 = (4²√3)/4 = 16√3/4 = 4√3.
14. 48 cm² – Drugi bok b: 6² + b² = 10² → 36 + b² = 100 → b² = 64 → b = 8. Pole P = 6 · 8 = 48.
15. 8 – Wysokość dzieli podstawę na połowy (6). h² + 6² = 10² → h² + 36 = 100 → h² = 64 → h = 8.
16. 15 + 5√3 – Boki to: 5, 5√3, 10. Obwód = 5 + 10 + 5√3 = 15 + 5√3.
17. 5 – Przekątne dzielą się na połowy pod kątem prostym (3 i 4). a² = 3² + 4² = 25 → a = 5.
18. 8 – Odcinek na dolnej podstawie: (22−10)/2 = 6. h² + 6² = 10² → h² = 64 → h = 8.
19. 3√2 – Odcinek jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych 3 i 3. x² = 3² + 3² = 18 → x = √18 = 3√2.
20. 6√3 – Ta odległość to wysokość trójkąta: h = (12√3)/2 = 6√3.

Typowe błędy

1. Stosowanie twierdzenia Pitagorasa w trójkątach, które nie są prostokątne.
2. Błędne rozpoznanie przeciwprostokątnej (to zawsze najdłuższy bok).
3. Dodawanie boków zamiast ich kwadratów: a + b = c (błąd!).
4. Pomijanie pierwiastkowania na końcu obliczeń (zostawienie c² zamiast c).
5. Mylenie wzoru na przekątną kwadratu (a√2) z wysokością trójkąta (a√3/2).
6. Błędne obliczenia na pierwiastkach, np. √9 + √16 = √25 = 5 (prawda), ale √2 + √2 ≠ √4.

Najczęstsze pytania – metody rozwiązywania

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm.

Zastosuj wzór: 6² + 8² = c². Oblicz kwadraty: 36 + 64 = c². Wyciągnij pierwiastek: c² = 100 → c = √100 = 10. Wynik: 10 cm

Oblicz przekątną kwadratu o boku 5 cm.

Użyj wzoru d = a√2. Podstaw a = 5. Wynik to 5√2. Wynik: 5√2 cm

Wysokość trójkąta równobocznego wynosi 3√3. Ile wynosi jego bok?

Wzór na wysokość: h = (a√3)/2. Podstaw h: 3√3 = (a√3)/2. Pomnóż przez 2: 6√3 = a√3. Podziel przez √3: a = 6. Wynik: 6

FAQ – Trójkąty prostokątne

Kiedy stosujemy twierdzenie Pitagorasa?

Zawsze, gdy znamy dwa boki trójkąta prostokątnego i chcemy obliczyć trzeci.

Czy przeciwprostokątna zawsze musi być oznaczona literą c?

Nie, to tylko umowne oznaczenie. Ważne, by we wzorze po prawej stronie (samodzielnie) był najdłuższy bok.

Jak rozpoznać trójkąt 30-60-90?

Suma kątów musi wynosić 180°, więc jeśli masz kąt 90° i 30°, trzeci musi mieć 60°.

Jaki jest najczęstszy błąd przy przekątnej kwadratu?

Zapominanie o pierwiastku z 2 i pisanie, że d = 2a.

Czy twierdzenie Pitagorasa działa dla ułamków?

Tak, długości boków mogą być dowolnymi liczbami dodatnimi, np. 0,5² + 1,2² = 1,3².

Co to są liczby pitagorejskie?

To zestawy trzech liczb naturalnych, które tworzą trójkąt prostokątny, np. 3, 4, 5 lub 8, 15, 17.

Jak obliczyć pole trójkąta prostokątnego mając przyprostokątne?

Pomnóż przyprostokątne przez siebie i podziel wynik przez 2: P = (a · b) / 2.

Czy na sprawdzianie trzeba rysować trójkąty?

Rysunek pomocniczy bardzo pomaga uniknąć błędu przy wskazywaniu przeciwprostokątnej.

Jak przygotować się do sprawdzianu?

1. Zapisz własnymi słowami regułę: W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej.
2. Przeanalizuj przykład „Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm.” i wyjaśnij każdy krok.
3. Bez podglądania oblicz: Oblicz c, jeśli a = 3, b = 4 w trójkącie prostokątnym. Dopiero potem porównaj tok obliczeń z rozwiązaniem.
4. Przejdź do trudniejszego zadania: Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną w trójkącie o bokach 3, 4, 5. Zapisuj przekształcenia, nie tylko wynik.
5. Sprawdź, czy nie popełniasz błędu: Stosowanie twierdzenia Pitagorasa w trójkątach, które nie są prostokątne. Wróć jutro do zadań, które sprawiły trudność.

Wygeneruj własny test z notatek, PDF lub zdjęć · Zrób fiszki z materiału

Powiązane tematy

• Równania – zadania, matematyka kl. 7
• Układ współrzędnych – zadania, matematyka kl. 7
• Matematyka klasa 7 – testy, sprawdziany i powtórki

Zakres działu odpowiada spisowi treści serii „Matematyka z kluczem” (klasa 7) – tylko jako odniesienie do programu. Teoria, przykłady i zadania są autorskie, wyniki sprawdzone obliczeniowo. SpytajMnie nie jest powiązane z żadnym wydawcą.