Układ współrzędnych – zadania i sprawdzian, matematyka klasa 7

Układ współrzędnych: Jak nazywa się oś pionowa w układzie współrzędnych? Zacznij od szybkiego quizu, a potem przećwicz metody w 20 zadaniach z rozwiązaniami.

Najważniejsze w 30 sekund

• Układ współrzędnych tworzą dwie prostopadłe osie: x (odciętych) i y (rzędnych).
• Punkt P opisujemy parą liczb (x, y).
• Oś x dzieli układ na górę i dół, oś y na lewo i prawo.

Najważniejsze w 5 minut

• Układ współrzędnych tworzą dwie prostopadłe osie: x (odciętych) i y (rzędnych).
• Punkt P opisujemy parą liczb (x, y).
• Oś x dzieli układ na górę i dół, oś y na lewo i prawo.
• Środek odcinka S = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).
• Długość odcinka poziomego to różnica x, pionowego to różnica y.
• Pola figur obliczamy, dzieląc je na prostokąty i trójkąty lub stosując metodę dopełniania.

Lekcje w tym dziale

1. Geometria kartki w kratkę
2. Punkty w układzie współrzędnych
3. Długości i pola w układzie współrzędnych
4. Odcinki w układzie współrzędnych

Krótka teoria

• Oś pozioma to oś x (odcięte), oś pionowa to oś y (rzędne). Punkt przecięcia (0, 0) to początek układu.
• Układ dzieli się na 4 ćwiartki: I (+,+), II (−,+), III (−,−), IV (+,−).
• Punkty na osi x mają współrzędną y = 0. Punkty na osi y mają współrzędną x = 0.
• Długość odcinka o końcach (x1, y) i (x2, y) wynosi |x2 − x1|.
• Długość odcinka o końcach (x, y1) i (x, y2) wynosi |y2 − y1|.
• Środek odcinka AB o końcach A=(x1, y1) i B=(x2, y2) ma współrzędne S = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).
• Pole trójkąta w układzie najłatwiej policzyć, gdy jeden bok jest równoległy do osi.
• Symetria: względem osi x zmienia się znak y (x, −y), a względem osi y znak x (−x, y).

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Podaj współrzędne środka odcinka AB, gdzie A=(−2, 4) i B=(6, 2).

1. Dodaj współrzędne x: (−2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2.
2. Dodaj współrzędne y: (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3.
3. Środek S = (2, 3).

Wynik: (2, 3)

Oblicz długość odcinka o końcach C=(−3, 5) i D=(4, 5).

1. Współrzędne y są takie same, więc odcinek jest poziomy.
2. Oblicz różnicę współrzędnych x: |4 − (−3)| = |4 + 3| = 7.

Wynik: 7

W której ćwiartce leży punkt P=(−5, −2)?

1. x jest ujemne, y jest ujemne.
2. Obie współrzędne ujemne charakteryzują III ćwiartkę.

Wynik: III ćwiartka

Zadania proste (10)

1. Jak nazywa się oś pionowa w układzie współrzędnych?
2. Podaj współrzędne początku układu współrzędnych.
3. Współrzędne punktu A to (3, −4). Ile wynosi jego odcięta?
4. Współrzędne punktu B to (−2, 5). Ile wynosi jego rzędna?
5. Podaj środek odcinka o końcach (0, 0) i (4, 10).
6. Jaka jest odległość punktu (5, 8) od osi x?
7. Jaka jest odległość punktu (−3, 4) od osi y?
8. Oblicz długość pionowego odcinka o końcach (2, −1) i (2, 5).
9. W której ćwiartce leży punkt (4, 2)?
10. Punkt P leży na osi x i ma odciętą 7. Podaj jego współrzędne.

Zadania trudniejsze (10)

11. Punkt S=(1, 2) jest środkiem odcinka AB. A=(−3, 0). Podaj współrzędne B.
12. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach (0,0), (6,0) i (3,4).
13. Oblicz pole prostokąta o wierzchołkach (−1, −1), (5, −1), (5, 3) i (−1, 3).
14. Podaj współrzędne punktu symetrycznego do A=(2, −5) względem osi x.
15. Podaj współrzędne punktu symetrycznego do B=(−3, 4) względem osi y.
16. Oblicz długość odcinka o końcach A=(1, 1) i B=(4, 5).
17. Czy punkty (1, 2), (5, 2) i (3, 5) tworzą trójkąt równoramienny?
18. Oblicz obwód kwadratu, którego dwa sąsiednie wierzchołki to (1, 1) i (1, 5).
19. Punkt A=(2, 3) przesunięto o 3 jednostki w lewo i 2 w górę. Podaj nowe współrzędne.
20. Znajdź współrzędne punktu przecięcia przekątnych prostokąta o wierzchołkach (0,0), (8,0), (8,4), (0,4).

Odpowiedzi i rozwiązania

1. Oś rzędnych (oś y) – Pozioma to oś odciętych (x), pionowa to oś rzędnych (y).
2. (0, 0) – To punkt przecięcia osi x i y.
3. 3 – Odcięta to pierwsza współrzędna (x).
4. 5 – Rzędna to druga współrzędna (y).
5. (2, 5) – (0+4)/2 = 2, (0+10)/2 = 5.
6. 8 – Odległość od osi x to wartość bezwzględna z rzędnej y.
7. 3 – Odległość od osi y to wartość bezwzględna z odciętej x.
8. 6 – |5 − (−1)| = 6.
9. I ćwiartka – Obie współrzędne są dodatnie.
10. (7, 0) – Punkty na osi x mają rzędną y = 0.
11. (5, 4) – (−3+x)/2 = 1 → x = 5; (0+y)/2 = 2 → y = 4. B = (5, 4).
12. 12 – Podstawa a = 6, wysokość h = 4. P = (6·4)/2 = 12.
13. 24 – Boki mają długości: |5 − (−1)| = 6 oraz |3 − (−1)| = 4. P = 6 · 4 = 24.
14. (2, 5) – Symetria względem osi x zmienia znak y: (2, −(−5)) = (2, 5).
15. (3, 4) – Symetria względem osi y zmienia znak x: (−(−3), 4) = (3, 4).
16. 5 – Korzystamy z tw. Pitagorasa: d² = (4−1)² + (5−1)² = 3² + 4² = 25. d = 5.
17. Tak – Podstawa ma długość 4. Wierzchołek (3, 5) leży dokładnie nad środkiem podstawy (3, 2).
18. 16 – Długość boku to |5−1|=4. Obwód = 4 · 4 = 16.
19. (−1, 5) – x = 2 − 3 = −1, y = 3 + 2 = 5.
20. (4, 2) – Punkt ten jest środkiem dowolnej przekątnej, np. (0,0) i (8,4): (0+8)/2=4, (0+4)/2=2.

Typowe błędy

1. Mylenie kolejności współrzędnych (x, y) – zawsze najpierw x (poziomo).
2. Błędne określanie ćwiartek (pamiętaj: I jest w prawym górnym rogu, lecimy przeciwnie do wskazówek zegara).
3. Błędy w znakach przy obliczaniu długości odcinków, np. |2 − (−3)| to 5, a nie −1.
4. Zapominanie, że punkty na osiach mają jedną ze współrzędnych równą 0.
5. Błędne stosowanie wzoru na środek odcinka (odejmowanie zamiast dodawania współrzędnych).
6. Mylenie symetrii względem osi x z symetrią względem osi y.

Najczęstsze pytania – metody rozwiązywania

Podaj współrzędne środka odcinka AB, gdzie A=(−2, 4) i B=(6, 2).

Dodaj współrzędne x: (−2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2. Dodaj współrzędne y: (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3. Środek S = (2, 3). Wynik: (2, 3)

Oblicz długość odcinka o końcach C=(−3, 5) i D=(4, 5).

Współrzędne y są takie same, więc odcinek jest poziomy. Oblicz różnicę współrzędnych x: |4 − (−3)| = |4 + 3| = 7. Wynik: 7

W której ćwiartce leży punkt P=(−5, −2)?

x jest ujemne, y jest ujemne. Obie współrzędne ujemne charakteryzują III ćwiartkę. Wynik: III ćwiartka

FAQ – Układ współrzędnych

Jak nie pomylić osi x z osią y?

Zapamiętaj, że x jest „księdzem” (leży poziomo na osi czasu), a y jest „wysoki” (pionowo). Albo alfabet: x jest wcześniej, y później.

W której ćwiartce jest punkt (0, 5)?

Punkt ten nie leży w żadnej ćwiartce – leży bezpośrednio na osi y.

Jak obliczyć pole figury o skomplikowanym kształcie?

Najlepiej zamknąć ją w prostokącie o bokach równoległych do osi i odjąć pola trójkątów prostokątnych, które powstały na zewnątrz.

Co to jest odcięta?

To inna nazwa współrzędnej x punktu.

Co to jest rzędna?

To inna nazwa współrzędnej y punktu.

Czy skala na obu osiach musi być taka sama?

W zadaniach szkolnych zazwyczaj tak (1 kratka = 1 jednostka), ale w ogólności skale mogą się różnić.

Jak wyznaczyć środek odcinka?

Oblicz średnią arytmetyczną współrzędnych x końców oraz średnią arytmetyczną współrzędnych y końców.

Czy długość odcinka może być ujemna?

Nie, długość jest zawsze wartością nieujemną (odległość).

Jak przygotować się do sprawdzianu?

1. Zapisz własnymi słowami regułę: Układ współrzędnych tworzą dwie prostopadłe osie: x (odciętych) i y (rzędnych).
2. Przeanalizuj przykład „Podaj współrzędne środka odcinka AB, gdzie A=(−2, 4) i B=(6, 2).” i wyjaśnij każdy krok.
3. Bez podglądania oblicz: Jak nazywa się oś pionowa w układzie współrzędnych? Dopiero potem porównaj tok obliczeń z rozwiązaniem.
4. Przejdź do trudniejszego zadania: Punkt S=(1, 2) jest środkiem odcinka AB. A=(−3, 0). Podaj współrzędne B. Zapisuj przekształcenia, nie tylko wynik.
5. Sprawdź, czy nie popełniasz błędu: Mylenie kolejności współrzędnych (x, y) – zawsze najpierw x (poziomo). Wróć jutro do zadań, które sprawiły trudność.

Wygeneruj własny test z notatek, PDF lub zdjęć · Zrób fiszki z materiału

Powiązane tematy

• Trójkąty prostokątne – zadania, matematyka kl. 7
• Matematyka klasa 7 – testy, sprawdziany i powtórki

Zakres działu odpowiada spisowi treści serii „Matematyka z kluczem” (klasa 7) – tylko jako odniesienie do programu. Teoria, przykłady i zadania są autorskie, wyniki sprawdzone obliczeniowo. SpytajMnie nie jest powiązane z żadnym wydawcą.